设多项式F(x)=a0x^n+a1*x^n-1+.+an-1*x+an的系数都是整数,并且有一个奇数A及一个偶数B使得F（A）,F（B）都是奇数,求证方程F（X）=0没有整数根

Question

设多项式F(x)=a0x^n+a1*x^n-1+.+an-1*x+an的系数都是整数,并且有一个奇数A及一个偶数B使得F（A）,F（B）都是奇数,求证方程F（X）=0没有整数根

Answer 1

声明：
(1)以下X均指整数,
(2)为简便用"="表示同余(余数相同),数论书中记法和恒等号相同,称同余号.
强调：以下"="表示同余.对除数(模)2同余,即指奇偶性相同.
证明：
易证X^n与X奇偶性相同.数论记法：X^n=X或(mod2)
以上F(X)=(a0+a1+…+an-1)X+an (***)
题目条件为：
(1)A=1,B=0
(2)F(A)=F(B)=1
下面将指出矛盾：
F(A)=(a0+a1+…+an-1)*1+an=1
F(B)=(a0+a1+…+an-1)*0+an=1
从而：a0+a1+…+an-1=0(mod2)
an=1(mod2)
从而依以上(***)式,对于任意整数X
F(X)=(a0+a1+…+an-1)X+an=an=1(mod2)
这与F(X)=0矛盾.