有关二项式设(1+X)+(1+X)^2+.+(1+X)^N=a0+a1X+.+an-1X^(n-1)+anX^(n),an-1=2009,则a0+a1+a2+.+an=为什么从an-1=2009就可以推出1+Cn(1)=2009,n=2008不是N=2009吗

Question

有关二项式
设(1+X)+(1+X)^2+.+(1+X)^N=a0+a1X+.+an-1X^(n-1)+anX^(n),an-1=2009,则a0+a1+a2+.+an=
为什么从an-1=2009 就可以推出1+Cn(1)=2009,n=2008
不是N=2009吗

Answer 1

an-1X^(n-1)项的系数an-1=2009
1+Cn(1)=2009,n=2008
当x=1时,有
(1+X)+(1+X)^2+.+(1+X)^N
=a0+a1+a2+.+an
=2+2^2+2^3+-----+2^2008
=2^2009-2
=2(2^2008-1)
an-1X^(n-1)项是由最后两项展开后得到的,
前项系数为1,是从（1+x)^(n-1)里来的
后项系数为Cn(1)=n,是从（1+x)^n里来的,
而在前面的各项里都不存在x^(n-1)项