已知函数f(x)=x+a/x(x>0,a≠0),(1)a0,试判断函数的单调已知函数f(x)=x+a/x(x>0,a≠0),(1)a

Question

已知函数f(x)=x+a/x(x>0,a≠0),(1)a0,试判断函数的单调
已知函数f(x)=x+a/x(x>0,a≠0),(1)a

Answer 1

分析：这是对钩函数图像的在第一象限的部分（双曲线的一支）
设m>n>0,【用笔书写时最好设x1>x2>0】
f(m)=m+a/m
f(n)=n+a/n
f(m)-f(n)=m-n+a(n-m)/mn=(m-n)(1-a/mn)
(1)因为m>n>0,a0,(1-a/mn)>0
即f(m)-f(n)>0 ,得证
(2)a>0时,f(x)=x+a/x>=2√a,当且仅当x=a/x即x=√a时f(x)取得最小值
所以(0,√a]区间是减函数,[√a,+∞)是增函数
3）若a=1,x属于【1/2,5】,即f(x)=x+1/x
由（2）可知所以(0,1]区间是减函数,[1,+∞)是增函数,最小值为2
f(1/2)=1/2+2=5/2 f(5)=5+1/5=26/5
所以此时f(x)值域为：[2,26/5]
（4）若a=-1,x属于【1/2,5】,即f(x)=x-1/x
由(1)可知a