设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）．证明：n≥1时，an=15[3n+（-1）n-1•2n]+（-1）n•2n•a0．

Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．证明：n≥1时，a_n=(1)/(5)[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

Answer 1

证明：（1）当n=1时，(1)/(5)[3+2]-2a₀=1-2a₀，而a₁=3⁰-2a₀=1-2a₀．
∴当n=1时，通项公式正确．
（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即a_k=(1)/(5)[3^k+（-1）^k-1•2^k]+（-1）^k•2^k•a₀，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-(2)/(5)×3^k+(2)/(5)（-1）^k•2^k+（-1）^k+1•2^k+1a₀
=(3)/(5)•3^k+(1)/(5)（-1）^k•2^k+1+（-1）^k+1•2^k+1•a₀
=(1)/(5)[3^k+1+（-1）^k•2^k+1]+（-1）^k+1•2^k+1•a₀．∴当n=k+1时，通项公式正确．
由（1）（2）可知，对n∈N*，a_n=(1)/(5)[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．