如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，点D，E分别为BC，CC1的中点．（1）求证：B1D⊥平面ABE；（2）若点P是线段B1D上一点且满足B1PPD=12，求证：A1P∥平面ADE．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，点D，E分别为BC，CC₁的中点．

（1）求证：B₁D⊥平面ABE；
（2）若点P是线段B₁D上一点且满足(B1P)/(PD)=(1)/(2)，求证：A₁P∥平面ADE．

Answer 1

（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，BB₁⊥面ABC，AB⊂面ABC，
所以BB₁⊥AB，
因为∠ABC=90°，
所以BC⊥AB，
又BC∩BB₁=B，
所以AB⊥面BCC₁B₁，
因为DB₁⊂面BCC₁B₁，
所以AB⊥DB₁，
因为在平面BCC₁B₁ 中，BC=BB₁，
所以四边形BCC₁B₁ 为正方形，
因为点D，E 分别为BC，CC₁ 的中点，
所以△BCE∽△B₁BD，
所以∠CBE=∠BB₁D，
所以∠CBE+∠B1DB=(π)/(2)，即B₁D⊥BE，
又因为BA∩BE=B，
所以B₁D⊥面ABE．
（2）连接PC交DE于点F，连接A₁C交AE 于点G，连接FG，在正方形BCC₁B₁ 中利用(B1P)/(PD)=(1)/(2)及平面几何知识可得(PF)/(FC)=2，
在正方形ACC₁A₁ 中利用CE∥AA₁ 且CE=(1)/(2)AA1，可得(A1G)/(GC)=2，
所以在△CA₁P中，(A1G)/(GC)=(PF)/(FC)=2，
所以A₁P∥GF，
又A₁P⊄平面ADE，GF⊂平面ADE，
所以A₁P∥平面ADE．