如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C⊥AB，侧面BCC₁B₁为菱形．

（1）求证：平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点D，E分别为A₁C₁，BB₁的中点，求证：DE∥平面ABC₁．

Answer 1

（1）因三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁为菱形，
故B₁C⊥BC₁．…2分
又B₁C⊥AB，且AB，BC₁为平面ABC₁内的两条相交直线，
故B₁C⊥平面ABC₁．…5分
因B₁C⊂平面BCC₁B₁，
故平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁．…7分
（2）如图，取AA₁的中点F，连DF，FE．
又D为A₁C₁的中点，故DF∥AC₁，EF∥AB．
因DF⊄平面ABC₁，AC₁⊂平面ABC₁，
故DF∥面ABC₁．…10分
同理，EF∥面ABC₁．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC₁．…12分
因DE⊂平面DEF，
故DE∥面ABC₁．…14分．