如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）求二面角C1-DB-C的正切值；（2）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32．

Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）求二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3√(2)．

Answer 1

解法一（几何法）：
（1）如图，连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC₁，
则AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面CC₁O，
∴BD⊥CC₁，
故∠COC₁即为二面角C₁-DB-C的平面角
在Rt△COC₁中，CC₁=1，CO=(√(2))/(2)
则tan∠COC₁=(CC1)/(OC)=√(2)
故二面角C₁-DB-C的正切值为√(2)
（2）设AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，
因为PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，
故OG∥PC，
所以OG=(1)/(2)PC=(m)/(2)．
又AO⊥DB，AO⊥BB₁，
所以AO⊥面BDD₁B₁，
故∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角
在Rt△AOG中，tan∠AGO=((√(2))/(2))/((m)/(2))=3√(2)
即m=(1)/(3)．
故当m=(1)/(3)时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3√(2)．
解法二（向量法）
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）
则

CC1

=（0，0，1）为平面DBC一个法向量，
设

m

=（x，y，z）为平面C₁DB的一个法向量，则

m

•

BD

＝0

m

•

BC1

＝0

即

x+y＝0

−x+z＝0

则

m

=（1，-1，1）
设二面角C₁-DB-C的平面角为θ
则cosθ=(m•CC1)/(|m|•|CC1|)=(√(3))/(3)
则sinθ=(√(6))/(3)，tanθ=√(2)
即二面角C₁-DB-C的正切值为√(2)
（2）∵

BD

=（-1，1，0），

BB1

=（0，0，1），

AP

=（-1，1，m），

AC

=-1，1，0），
又由

AC

•

BD

=0，

AC

•

BB1

=0知，

AC

为平面BB₁D₁D的一个法向量．
设AP与平面BB₁D₁D所成的角为θ，
则sinθ=cos（(π)/(2)-θ）=(|AP•AC|)/(|AP|•|AC|)=(2)/(√(2)•√(2)+m2)
依题意有(2)/(√(2)•√(2)+m2)=(3√(2))/(√(1+(3√(2)))2)，
解得m=(1)/(3)，
故当m=(1)/(3)时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3√(2)．