ai,bi是实数,a1≥a2≥……≥an≥0,且a1+a2+……+ak≤b1+b2+……+bk,（k=1,2,3,……,n）求证：a1^2+a2^2+……+an^2≤b1^2+b2^2+……+bn^2下标和平方打不出来,抱歉...

Question

ai,bi是实数,a1≥a2≥……≥an≥0,且a1+a2+……+ak≤b1+b2+……+bk,（k=1,2,3,……,n）求证：a1^2+a2^2+……+an^2≤b1^2+b2^2+……+bn^2
下标和平方打不出来,抱歉...

Answer 1

以上的证明都是错误的.
证明：记S(k)=a1+a2+……+ak,T(k)=b1+b2+……+bk.那么,由Abel公式得知,
a1^2+a2^2+……+an^2=(a1-a2)S1+(a2-a3)S2+……+(a(n-1)-an)Sn
≤(a1-a2)T1+(a2-a3)T2+……+(a(n-1)-an)Tn
=a1b1+a2b2+……+an*bn
又由Cachy不等式,有：
(a1^2+a2^2+……+an^2)^2≤(a1b1+a2b2+……+an*bn)^2≤(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)
因此a1^2+a2^2+……+an^2≤b1^2+b2^2+……+bn^2.命题得证.
注：本问题是著名的钟开莱不等式的加强.