将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23π，A1B1长为π3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C-O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大

Question

将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，如图，

AC

长为(2)/(3)π，

A1B1

长为(π)/(3)，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧．

（1）求三棱锥C-O₁A₁B₁的体积；
（2）求异面直线B₁C与AA₁所成的角的大小．

Answer 1

（1）连结O₁B₁，则∠O₁A₁B₁=∠A₁O₁B₁=(π)/(3)，
∴△O₁A₁B₁为正三角形，
∴S△O1A1B1=(√(3))/(4)，
VC-O1A1B1=(1)/(3)×OO1×S△O1A1B1=(√(3))/(12)．
（2）设点B₁在下底面圆周的射影为B，连结BB₁，则BB₁∥AA₁，
∴∠BB₁C为直线B₁C与AA₁所成角（或补角），
BB₁=AA₁=1，
连结BC、BO、OC，
∠AOB=∠A₁O₁B₁=(π)/(3)，∠AOC=(2π)/(3)，∴∠BOC=(π)/(3)，
∴△BOC为正三角形，
∴BC=BO=1，∴tan∠BB₁C=1，
∴直线B₁C与AA₁所成角大小为45°．