设A=（aij）n×n，b=（b1，b2，…，bn）T，试证：（1）若方程组Ay=b有解，则方程组ATX=0的任一解x1，x2，…，xn，必满足方程b1x1+b2x2+…+bnxn=bTx=0；（2）方程组Ay=b有解的充分必要条件是ATbTx=01无解

Question

设A=（a_ij）_n×n，b=（b₁，b₂，…，b_n）^T，试证：
（1）若方程组Ay=b有解，则方程组A^TX=0的任一解x₁，x₂，…，x_n，必满足方程b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n=b^Tx=0；
（2）方程组Ay=b有解的充分必要条件是

AT

bT

x=

0

1

无解．

Answer 1

证明：（1）设Ax=b有解y，而x=（x₁，x₂，…，x_m）^T，是A^Tx=0的任一解，则
b^Tx=（Ay）^Tx=y^TA^Tx=y^Tx=0
即x₁b₁+x₂b₂+…x_mb_m=0
（2）由于A^Tx=0，而x₁b₁+x₂b₂+…x_mb_m=0即β^Tx=0
因此

ATx=

0

βTx=1

是矛盾方程组
即线性方程组

AT

βT

x=

0

1

无解