点P为棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A.5π5B.25π5C.45π5D.85π5

Question

点P为棱长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点M为B₁C₁的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（　　）

A.

(√(5)π)/(5)

B.

(2√(5)π)/(5)

C.

(4√(5)π)/(5)

D.

(8√(5)π)/(5)

Answer 1

设BB₁的中点N，CN为DP在平面B₁C₁CB中的射影，直线DP在过点D且与BM垂直的平面内．又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆，即点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线．由等面积(1)/(2)×√(5)×h=(1)/(2)×1×1，求得点O到此平面的距离为(√(5))/(5)，截得小圆的半径为(2√(5))/(5)，所以以点P的轨迹的长度为(4√(5)π)/(5)．
故选C．