如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．（1）作出过B1、G、F三点的长方体的截面（保留作图痕迹）；（2）求异面直线A1E与GF所成角的大小；（3）求斜线G

Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点．
（1）作出过B₁、G、F三点的长方体的截面（保留作图痕迹）；
（2）求异面直线A₁E与GF所成角的大小；
（3）求斜线GF与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

（1）如图所示：截面为B₁FPG．

（2）连接B₁G，EG，
∵E、G分别是DD₁和CC₁的中点，
∴EG∥C₁D₁，而C₁D∥A₁B₁，
∴EG∥A₁B₁，
∴四边形EGB₁A₁是平行四边形．
∴A₁E∥B₁G，
所以∠B₁GF为异面直线所成角，
连接B₁F，则FG=√(3)，B₁G=√(2)，B₁F=√(5)，
所以FG²+B₁G²=B₁F²，
所以∠B₁GF=90°，
所以异面直线A₁E与GF所成的角为90°．
（3）连接FC，
由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的结构特征可得：GC⊥平面ABCD，
所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，
因为AA₁=AB=2，AD=1，点F、G分别是AB、CC₁的中点，
所以CG=1，CF=√(2)，
所以在△GFC中，tan∠GFC=(GC)/(FC)＝(1)/(√(2))＝(√(2))/(2)，
所以斜线GF与底面ABCD所成角为arctan

作业帮用户 2016-12-04

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问题解析

（1）连接B1G并且延长B1G交BC的延长线于点Q，再连接FQ交CD于点P，则可得截面为B₁FPG．
（2）连接B₁G，EG，由长方体的结构特征与题中的条件可得：A₁E∥B₁G，得到∠B₁GF为异面直线所成角，再利用解三角形的有关知识求出答案．
（3）连接FC，由题意可得：GC⊥平面ABCD，所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，再利用解三角形的有关知识求出线面角．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查异面直线所成的角与线面角，求空间角的步骤是：①从几何体中找或作出角来，②证明此角是所求角，③再利用解三角形的有关知识求出空间角．

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