如图1，等腰△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜60°）得到△AB1C1，连结BB1，AB1交BC于E点，B1C1分别交BC、AC于D、F两点．（1）求证：△ABE≌△AC1F；（2）当旋转角α=40°时

Question

如图1，等腰△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜60°）得到△AB₁C₁，连结BB₁，AB₁交BC于E点，B₁C₁分别交BC、AC于D、F两点．
（1）求证：△ABE≌△AC₁F；
（2）当旋转角α=40°时，判断BE与BB₁数量关系，请说明理由；
（3）如图2，连结AD，当旋转角α为何值时，判断此时四边形ABDC₁是菱形，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，
∵∠BAC=∠B₁AC₁=120°，
∴都减去∠B₁AC得：∠BAE=∠C₁AF，
在△ABE和△AC₁F中，

∠ABE＝∠C1

AB＝AC′

∠BAE＝∠FAC1

，
∴△ABE≌△AC₁F（ASA）．

（2）BE=BB₁，
理由是：∵α=40°，
∴∠BAE=40°，
∵AB=AB₁，
∴∠ABB₁=∠AB₁B=(1)/(2)×（180°-40°）=70°，
∵∠BAE=40°，∠ABC=30°，
∴∠BEB₁=30°+40°=70°，
∴∠BEB₁=∠B₁，
∴BE=BB₁．

（3）当旋转角α为30°时，四边形ABDC₁是菱形，
理由是：如图②，∵α=30°，
∴∠BAC₁=120°+30°=150°，
∵∠B=∠C₁=30°，
∴∠B+∠BAC₁=180°，∠C₁+∠BAC₁=180°，
∴AC₁∥BC，AB∥C₁D，
∴四边形ABDC₁是平行四边形，
∵AB=AC₁，
∴四边形ABDC₁是菱形．