如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=2，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=√(2)，AA₁=2．
（1）证明：AA₁⊥BD
（2）证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（3）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵A₁O⊥平面ABCD 且BD⊂面ABCD，∴A₁O⊥BD，
又∵A₁O∩AC=O A₁O⊂面A₁AC，AC⊂面A₁AC，
∴BD⊥面A₁AC，AA₁⊂面A₁AC，
∴AA₁⊥BD…（4分）
（2）∵A₁B₁∥AB AB∥CD，∴A₁B₁∥CD，又A₁B₁=CD，∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，同理  A₁B∥CD₁，
∵A₁B⊂平面A₁BD，A₁D⊂平面A₁BD，CD₁⊂平面CD₁B₁，B₁C⊂平面CD₁B，
且A₁B∩A₁D=A₁    CD₁∩B₁C=C，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁…（8分）
（3）∵A₁O⊥面ABCD，∴A₁O是三棱柱A₁B₁D₁-ABD的高，
在正方形AB CD中，AO=1．在RT△A₁OA中，AA₁=2，AO=1∴A₁O=√(3)，∴V_三棱柱=S_△ABD•A₁O=(1)/(2)•（√(2)）²•√(3)=√(3)
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积为√(3)．