X、Y满足绝对值x-m小于绝对值y-m,对两个任意不相等的正数a、b,证明a2b+ab2比a3+b3接近2ab根号ab

Question

X、Y满足绝对值x-m小于绝对值y-m,对两个任意不相等的正数a、b,证明a2b+ab2比a3+b3接近2ab根号ab

Answer 1

作差
证明：|a^3+b^3-2ab根号ab|-|a^2b+ab^2-2ab根号ab|大于0
(a^3+b^3-2ab根号ab)^2-(a^2b+ab^2-2ab根号ab)^2
=((a^3+b^3-2ab根号ab)+(a^2b+ab^2-2ab根号ab))((a^3+b^3-2ab根号ab)-(a^2b+ab^2-2ab根号ab))
=((a+b)(a^2+b^2)-4ab根号ab)(a^3-a^2b-ab^2+b^3)
=((a+b)(a^2+b^2)-4ab根号ab)(a+b)(a-b)^2
因 ab>0 所以 a,b同号
a>=0 b>=0时
((a+b)(a^2+b^2)-4ab根号ab)(a+b)(a-b)^2
>=(2根号ab * 2ab - 4ab根号ab)(a+b)(a-b)^2
>=0
a0
所以 (a^3+b^3-2ab根号ab)^2-(a^2b+ab^2-2ab根号ab)^2 >=0
(a^3+b^3-2ab根号ab)^2>=(a^2b+ab^2-2ab根号ab)^2
|a^3+b^3-2ab根号ab|>=|a^2b+ab^2-2ab根号ab|
|a^3+b^3-2ab根号ab|-|a^2b+ab^2-2ab根号ab|>=0
如果没有 a不等b的条件 只能证明大于等于