已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．（1）若a4=b3，b4-b3=m．①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；②若数列{bn}是唯一的，求m的值；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均

Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且满足a₁+a₂+a₃=9，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₄=b₃，b₄-b₃=m．
①当m=18时，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②若数列{b_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃均为正整数，且成等比数列，求数列{a_n}的公差d的最大值．

Answer 1

（1）①由数列{a_n}是等差数列及a₁+a₂+a₃=9，得a₂=3，
由数列{b_n}是等比数列及b₁b₂b₃=27，得b₂=3．                              …（2分）
设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
若m=18，
则有

3+2d＝3q

3q2−3q＝18

解得

d＝3

q＝3

或

d＝−(9)/(2)

q＝−2

，
所以，{a_n}和{b_n}的通项公式为a_n=3n-3，b_n=3^n-1或a_n=-(9)/(2)n+12，b_n=3•（-2）^n-2…（4分）
②由题设b₄-b₃=m，得3q²-3q=m，即3q²-3q-m=0（*）．
因为数列{b_n}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则（-3）²+12m=0，解得m=-(3)/(4)，代入（*）式，解得q=(1)/(2)，
又b₂=3，所以{b_n}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或-(3)/(4)．                                                      …（8分）
（2）依题意，36=（a₁+b₁） （a₃+b₃），
设{b_n}公比为q，则有36=（3-d+(3)/(q)）（3+d+3q），（**）
记m=3-d+(3)/(q)，n=3+d+3q，则mn=36．
将（**）中的q消去，整理得：d²+（m-n）d+3（m+n）-36=0                …（10分）
d的大根为(n−m+√((m−n)2−12(m+n)+144))/(2)=(n−m+√((m+n−6)2−36))/(2)
而m，n∈N^*，所以 （m，n）的可能取值为：
（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．
所以，当m=1，n=36时，d的最大值为(35+5√(37))/(2)．                         …（16分）