在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，等差数列{b_n}的公差为d．
由b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
得

3q=3+3d

3q2=3+12d

⇒

q=1+d

q2=1+4d

⇒q=3或1（舍去），d=2，
所以a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）由题意，得c_n=a_n+b_n=3ⁿ+（2n+1），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（3+5+7+…+2n+1）+（3+3²+…+3ⁿ）
=(n(3+2n+1))/(2)+(3(1-3n))/(1-3)=(3n+1)/(2)+n²+2n-(3)/(2)．