数列{an}满足an+1-an=2，a1=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a8，求{bn}的前n项和Sn；（3）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2，a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₈，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）由a_n+1-a_n=2，
可得数列{a_n}是公差为2的等差数列，
又a₁=2，得
a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）由b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，
得q3=(b4)/(b1)=8，
∴q=2．
则{b_n}的前n项和S_n=(2(1-2n))/(1-2)=2n+1-2；
（3）由（2）得，bn=2×2n-1=2n，
∴c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹．
则T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2Tn=1×23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2．
两式作差得：-Tn=22+23+…+2n+1-n×2n+2=(4(1-2n))/(1-2)-n×2n+2=2n+2-2-n×2n+2，
∴Tn=(n-1)•2n+2+2．