已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32n2+12n，递增的等比数列{bn}满足：b1+b4=18，b2•b3=32．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若cn=an•bn，n∈N，求数列{Cn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=(3)/(2)n²+(1)/(2)n，递增的等比数列{b_n}满足：b₁+b₄=18，b₂•b₃=32．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n∈N，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵S_n=(3)/(2)n²+(1)/(2)n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(3)/(2)n²+(1)/(2)n-[(3)/(2)(n-1)2+(1)/(2)(n-1)]=3n-1，
又当n=1时，a₁=S₁=2，也符合上式．
∴a_n=3n-1．
∵b₁+b₄=18，b₂•b₃=b₁b₄=32．
∴b₁，b₄是一元二次方程x²-18x+32=0的两根，
解得x=2，16．
又b₄>b₁，
∴b₄=16，b₁=2，
∴2q³=16，
解得q=2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ．
∴数列{C_n}的前n项和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2²+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹=3×(2(2n-1))/(2-1)-2-（3n-1）×2ⁿ⁺¹=（4-3n）×2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．