已知等差数列{bn}满足b1=1，b4=7．设cn=1bnbn+1，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：13≤Tn<12．

Question

已知等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=7．设c_n=(1)/(bnbn+1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：(1)/(3)≤T_n<(1)/(2)．

Answer 1

证明：∵等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=7，
∴b_n=1+（n-1）(7-1)/(3)=2n-1，
∴c_n=(1)/(bnbn+1)=(1)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)），
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)）
=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）=(n)/(2n+1)=(1)/(2+(1)/(n))，
∵0<(1)/(n)≤1，∴2<2+(1)/(n)≤3，∴(1)/(3)≤(1)/(2+(1)/(n))<(1)/(2)