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已知数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N*),数列{bn}为等比数列,且满足b1=a1,2b3=b4(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和.
题目详情
已知数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N*),数列{bn}为等比数列,且满足b1=a1,2b3=b4
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知Sn=n2,得a1=S1=1
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
所以an=2n-1(n∈N*)
由已知,b1=a1=1
设等比数列{bn}的公比为q,由2b3=b4得2q2=q3,所以q=2
所以bn=2n-1
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn,
则Tn=1×1+3×2+5×22++(2n-1)•2n-1,2Tn=1×2+3×22+5×23++(2n-1)•2n,
两式相减得-Tn=1×1+2×2+2×22++2×2n-1-(2n-1)•2n(10分)=1+2(2+22++2n-1)-(2n-1)•2n=1+4(2n-1-1)-(2n-1)•2n(11分)=-(2n-3)•2n-3
所以Tn=(2n-3)2n+3
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
所以an=2n-1(n∈N*)
由已知,b1=a1=1
设等比数列{bn}的公比为q,由2b3=b4得2q2=q3,所以q=2
所以bn=2n-1
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn,
则Tn=1×1+3×2+5×22++(2n-1)•2n-1,2Tn=1×2+3×22+5×23++(2n-1)•2n,
两式相减得-Tn=1×1+2×2+2×22++2×2n-1-(2n-1)•2n(10分)=1+2(2+22++2n-1)-(2n-1)•2n=1+4(2n-1-1)-(2n-1)•2n(11分)=-(2n-3)•2n-3
所以Tn=(2n-3)2n+3
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