已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值．

Question

已知a+b+c=0，a²+b²+c²=1，求ab+bc+ca和a⁴+b⁴+c⁴的值．

Answer 1

a+b+c=0，两边平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0，
∵a²+b²+c²=1，
∴1+2ab+2bc+2ca=0，
∴ab+bc+ca=-(1)/(2)；
ab+bc+ca=-(1)/(2)两边平方得：
a²b²+b²c²+c²a²+2ab²c+2abc²+2a²bc=(1)/(4)，
即a²b²+b²c²+c²a²+2abc（a+b+c）=(1)/(4)，
∴a²b²+b²c²+c²a²=(1)/(4)，
∵a²+b²+c²=1，
∴两边平方得：a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²=1，
∴a⁴+b⁴+c⁴=1-2（a²b²+b²c²+c²a²）=1-(1)/(2)=(1)/(2)．
故答案为：-(1)/(2)，(1)/(2)．