已知{bn}为单调递增的等差数列，b3+b8=26，b5b6=165，设数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=2bn（1）求数列{bn}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Question

已知{b_n}为单调递增的等差数列，b₃+b₈=26，b₅b₆=165，设数列{a_n}满足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2 bn
（1）求数列{b_n}的通项；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设{b_n}的公差为d（d>0），
由b₃+b₈=b₅+b₆=26，又b₅b₆=165，
解得b₅=11，b₆=15，（b₅=16，b₆=11舍去），
可得d=b₆-b₅=4，
则b_n=b₅+（n-5）d=11+4（n-5）=4n-9；
（2）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2^4n-9，
当n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=2^4n-13，
可得2ⁿa_n=2^4n-9-2^4n-13=15•2^4n-13，
当n≥2时，a_n=15•2^3n-13，
又n=1时 2a₁=2^-5，得a₁=2^-6，
即有a_n=

2-6，n=1

15•23n-13，n≥2

，
则前n项和S_n=2^-6+(15•2-7(1-8n-1))/(1-8)
=(15•8n-1-1)/(896)．