已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2n=2an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2an，求b1+b3+b5+…+b2n+1．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_2n=2a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^a_n，求b₁+b₃+b₅+…+b_2n+1．

Answer 1

（1）S2n=2an2+an，则S2=a1+a2=2

a

2 1

+a1，又a₁=1，得a₂=2，
猜想数列{a_n}为等差数列，公差d=a₂-a₁=1，可得数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
验证：左边=S_2n=(2n(1+2n))/(2)=2n²+n=右边．
∴猜想a_n=n正确．
（2）bn=2an=2n，
∴数列{b_2n+1}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴b1+b3+b5+…+b2n+1=(2)/(3)(4n+1-1)．