已知A﹙1,2﹚,B﹙4,－2﹚在直线y＝x－1上找一点P,使||PA|－|PB||最大,并求最大值

Question

已知A﹙1,2﹚,B﹙4,－2﹚在直线y＝x－1上找一点P,使||PA|－|PB||最大,并求最大值

Answer 1

A﹙1,2﹚,B﹙4,-2﹚,在直线y＝x－1的两侧,作A﹙1,2﹚关于直线y＝x－1的对称点A‘
∵垂直于直线y＝x－1且过点A﹙1,2﹚的直线方程为y=-x+3
∴由直线y=-x+3与直线y＝x－1交点为（2,1）,得A’的坐标为（3,0）
∵过A’（3,0）和B﹙4,-2﹚的直线方程为y=-2x+6
∴取直线y＝x－1与直线y=-2x+6的交点为P,有P的坐标为（7/3,4/3）
||PA|－|PB||=||PA'|－|PB||=|2√5/3-5√5/3|=√5
当P为（7/3,4/3）时,||PA|－|PB||有最大值√5.