三个不等于零的有理数a，b，c满足（a+b）（b+c）（c+a）=0，则(a+b+c)(a3+b3+c3)(a5+b5+c5)(a7+b7+c7)(a9+b9+c9)a25+b25+c25=．

Question

三个不等于零的有理数a，b，c满足（a+b）（b+c）（c+a）=0，则 ((a+b+c)(a3+b3+c3)(a5+b5+c5)(a7+b7+c7)(a9+b9+c9))/(a25+b25+c25)=___．

Answer 1

∵三个不等于零的有理数a，b，c满足（a+b）（b+c）（c+a）=0，∴a+b=0或b+c=0或c+a=0，∴a=-b或b=-c或c=-a，
当a=-b时，a+b+b=-b+b+c=c，
a³+b³+c³=（-b）³+b³+c³=-b³+b³+c³=c³，
a⁵+b⁵+c⁵=（-b）⁵+b⁵+c⁵=-b⁵+b⁵+c⁵=c⁵，
a⁹+b⁹+c⁹=（-b）⁹+b⁹+c⁹=-b⁹+b⁹+c⁹=c⁹，
a²⁵+b²⁵+c²⁵=（-b）²⁵+b²⁵+c²⁵=-b²⁵+b²⁵+c²⁵=c²⁵
∴((a+b+c)(a3+b3+c3)(a5+b5+c5)(a7+b7+c7)(a9+b9+c9))/(a25+b25+c25)=(c×c3×c5×c7×c9)/(c25)=(c1+3+5+7+9)/(c25)=(c25)/(c25)=1，
同理：当b=-c时或当c=-a时，则((a+b+c)(a3+b3+c3)(a5+b5+c5)(a7+b7+c7)(a9+b9+c9))/(a25+b25+c25)=1，
即：则((a+b+c)(a3+b3+c3)(a5+b5+c5)(a7+b7+c7)(a9+b9+c9))/(a25+b25+c25)=1，
故答案为1．