已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=55，且a2、a4、a8成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=Snn（n∈N*），求b1+b5+b9+…+b4n-3的值．

Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₀=55，且a₂、a₄、a₈成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=(Sn)/(n)（n∈N^*），求b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3的值．

Answer 1

（Ⅰ）设公差d不为零的等差数列{a_n}，
由a₂、a₄、a₈成等比数列，
可得：a42=a2×a8，
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，
∴d²=a₁d，又∴d≠0，a₁=d…（2分）
又因为S10=10a1+(10×9)/(2)×d=55，
∴a₁=d=1∴a_n=n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=((n(n+1))/(2))/(n)=(n+1)/(2)，
可知{b_4n-3}是首项为1，公差为2的等差数列．…（8分）
则b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3=1+3+5+…+（2n-1）
=(1)/(2)n（1+2n-1）=n²．…（12分）