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已知a+b=1,ab=-1,设S1=a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…,Sn=an+bn.(1)计算S2、S3、S4的值;(2)写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系式;(3)根据以上得出的结论,计算a7+b7的值.
题目详情
已知a+b=1,ab=-1,设S1=a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…,Sn=an+bn.
(1)计算S2、S3、S4的值;
(2)写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系式;
(3)根据以上得出的结论,计算a7+b7的值.
(1)计算S2、S3、S4的值;
(2)写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系式;
(3)根据以上得出的结论,计算a7+b7的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵S2=a2+b2=(a+b)2-2ab=3;
∵(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),
∴3×1=a3+b3-1,
∴a3+b3=4,即S3=4,
∵S4=(a2+b2)2-2(ab)2=7,
∴S4=7;
(2)∵S2=3,S3=4,S4=7,
∴S2+S3=S4,
∴Sn-2+Sn-1=Sn;
(3)∵Sn-2+Sn-1=Sn,S2=3,S3=4,S4=7,
∴S5=4+7=11,
∴S6=7+11=18,
∴S7=11+18=29.
∵(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),
∴3×1=a3+b3-1,
∴a3+b3=4,即S3=4,
∵S4=(a2+b2)2-2(ab)2=7,
∴S4=7;
(2)∵S2=3,S3=4,S4=7,
∴S2+S3=S4,
∴Sn-2+Sn-1=Sn;
(3)∵Sn-2+Sn-1=Sn,S2=3,S3=4,S4=7,
∴S5=4+7=11,
∴S6=7+11=18,
∴S7=11+18=29.
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