数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=1(bn+16)(bn+18)，求数列{cn}的前n项和Wn．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁+S₄=0，b₉=a₁．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=(1)/((bn+16)(bn+18))，求数列{c_n}的前n项和W_n．

Answer 1

（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=1，（2分）
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1（6分）
∴S_n=2ⁿ-1；
设{b_n}的公差为d，b₁=-S₄=-15，b₉=a₁=-15+8d=1，
∴d=2，
∴b_n=2n-17；（8分）
（2）c_n=(1)/((bn+16)(bn+18))=(1)/(2)（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)），
∴W_n=(1)/(2)[（1-(1)/(3)）+（(1)/(3)-(1)/(5)）+…+（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)）]=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）=(1)/(2)−(1)/(4n+2)（14分）