若n此多项式f(x)=C0+C1x+C2x^2+…+Cnx^n对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零.用范德蒙行列式证明

Question

若n此多项式f(x)=C0+C1x+C2x^2+…+Cnx^n对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零.用范德蒙行列式证明

Answer 1

设这n+1个零点为x0,x1,...xn
f(x0)=C0+C1x0+...+Cnx0^n=0
f(x1)=C0+C1x1+...+Cnx1^n=0
.
f(xn)=C0+C1xn+...+Cnxn^n=0
所以,AC=0,
(1 x0 x0^2 .x0^n (C0
1 x1 x1^2 .x1^n C1
..= 0
1 xn xn^2 .xn^n) Cn)
其中|A|是范德蒙行列式
|A|=∏ (xi-xj)≠0 (n>=i>j>=0)
所以（C0 C1 ...Cn）有唯一解
已知（0,0,0...0）是AC=0的一个解,则其为唯一解
所以f(x)=0+0x+0x^2+...+0x^n恒等于0