试证：如果n次多项式f(x)＝C0+C1x+…Cnxn对n+1个不同的x值都是零，则此多项式恒等于零．（提示：用范德蒙行列式证明）

Question

试证：如果n次多项式f(x)＝C0+C1x+…Cnxn对n+1个不同的x值都是零，则此多项式恒等于零．（提示：用范德蒙行列式证明）

Answer 1

证明：假设多项式的n+1个不同的零点为x₀，x₁，…，x_n，
将它们代入多项式，得关于C_i方程组
C0+C1x0+…Cn

x

n 0

＝0
C0+C1x1+…Cn

x

n 1

＝0
…
C0+C1xn+…Cn

x

n n

＝0
系数行列式为x₀，x₁，…，x_n的范德蒙行列式，不为0，
所以C₀=C₁=…=C_n=0．