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试证:如果n次多项式f(x)=C0+C1x+…Cnxn对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)
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试证:如果n次多项式f(x)=C0+C1x+…Cnxn对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)
▼优质解答
答案和解析
证明:假设多项式的n+1个不同的零点为x0,x1,…,xn,
将它们代入多项式,得关于Ci方程组
C0+C1x0+…Cn
=0
C0+C1x1+…Cn
=0
…
C0+C1xn+…Cn
=0
系数行列式为x0,x1,…,xn的范德蒙行列式,不为0,
所以C0=C1=…=Cn=0.
将它们代入多项式,得关于Ci方程组
C0+C1x0+…Cn
x | n 0 |
C0+C1x1+…Cn
x | n 1 |
…
C0+C1xn+…Cn
x | n n |
系数行列式为x0,x1,…,xn的范德蒙行列式,不为0,
所以C0=C1=…=Cn=0.
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