设D=ACCTB为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．（Ⅰ）计算PTDP，其中P=Em−A−1C0En；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

Question

设D=

A	C
CT	B

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
（Ⅰ）计算P^TDP，其中P=

Em	−A−1C
0	En

；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B-C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

Answer 1

（I）
因为A为n阶对称矩阵，
所以：P^T=

Em	0
−CTA−1	En

．
从而：
P^TDP=

Em	0
−CTA−1	En

 

A	C
CT	B

 

Em	−A−1C
0	En

作业帮用户 2017-10-18

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问题解析

（I）直接利用分块矩阵的乘法即可；（II）讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义进行讨论．

名师点评

本题考点：

判断正定的充要条件；对称矩阵的概念及其性质；正定矩阵．

考点点评：

本题综合考查了分块矩阵的乘法以及矩阵为正定矩阵的充要条件，是常考题型．讨论矩阵的正定性，一般利用正定矩阵的定义进行证明．

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