在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1．（Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系；（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）判断圆C₁与圆C₂的位置关系；
（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）C₁：（x+1）²+y²=1的圆心为（-1，0），半径r=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心为（3，4），半径R=1，
则|C₁C₂|=√((−1−3)2+42)＝√(32)＝4√(2)＞1+1，
∴圆C₁与圆C₂的位置关系是相离．
（Ⅱ）设圆心C（x，y），由题意得CC₁=CC₂，
即√((x+1)2+y2)＝√((x−3)2+(y−4)2)，
整理得x+y-3=0，
即圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
设C（m，3-m），
则动圆的半径√(1+(CC1)2)＝√(1+(m+1)2+(3−m)2)，
于是动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理得：x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

作业帮用户 2016-11-17

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问题解析

（Ⅰ）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C₁与圆C₂的位置关系；
（Ⅱ）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力．

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