y"+y=-cost,y=dx/dt-cost求y和x答案是x=c1cost+c2sint+1+t/2costy=-c1sint+c2cost-1/2cost-t/2sint

Question

y"+y=-cost,y=dx/dt-cost 求y和x
答案是x=c1cost+c2sint+1+t/2cost y=-c1sint+c2cost-1/2cost-t/2sint

Answer 1

①先解第一个微分方程,求出y
y''+y=-cost
齐次特征方程：r^2+1=0
特征根：r1,2=±i
Y=C1cost+C2sint
设非齐特解为：y*=t(Acost+Bsint)
则 y*''+y*=-2Asint+2Bcost=-cost
解得 A=0,B=-1/2
∴y*=-1/2*tsint
∴y的通解为 y=C1cost+C2sint-1/2*tsint
②再将y带入第二个微分方程,求出x
y=dx/dt-cost=x'-cost
x'=y+cost=(C1+1)cost+C2sint-1/2*tsint
这是一个关于t的一阶方程,直接积分可得
x=(C1+1)sint-C2cost+1/2*tcost-1/2*sint+C3
=C1sint-C2cost+1/2*tcost+1/2*sint+C3
（我的常数和你的常数稍有不同,我的C1等于你的C2-1/2
我的C2等于你的-C1,代换之后可得到与你相同的结果.
唯一不同的是你的常数1应换为我的常数C3才对.
没有初始条件,这几个常数是无法确定下来的.）