如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面C1BD（Ⅱ）求二面角C-DB-C1的大小的余弦值．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：AB₁∥平面C₁BD
（Ⅱ）求二面角C-DB-C₁的大小的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，由正三棱柱性质知E为B₁C中点，
又D为AC的中点，∴DE是△CAB₁的中位线，
∴DE∥AB₁，
又DE⊂平面BDC₁，AB₁⊄平面C₁BD，∴AB₁∥平面C₁BD．
（Ⅱ）∵D为AC的中点，由正三棱柱性质知，BD⊥侧面AC₁，CC₁⊥平面ABC，故∠C₁DC=θ即为二面角C-DB-C₁的平面角，
∵CD＝(1)/(2)AB＝4，CC1＝√(BC12−BC2)＝6，
在△CDC₁中，tanθ＝(CC1)/(CD)＝(3)/(2)，∴cosθ＝(2)/(13)√(13)，
故二面角C-DB-C₁的余弦值为(2)/(13)√(13)．