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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点.(Ⅰ)求证:AB1∥平面C1BD(Ⅱ)求二面角C-DB-C1的大小的余弦值.
题目详情
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34bfd83605d3a20cf430ad85c9.jpg)
(Ⅰ)求证:AB1∥平面C1BD
(Ⅱ)求二面角C-DB-C1的大小的余弦值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34bfd83605d3a20cf430ad85c9.jpg)
(Ⅰ)求证:AB1∥平面C1BD
(Ⅱ)求二面角C-DB-C1的大小的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)连接B1C,设B1C与BC1交于点E,连接DE,由正三棱柱性质知E为B1C中点,
又D为AC的中点,∴DE是△CAB1的中位线,
∴DE∥AB1,
又DE⊂平面BDC1,AB1⊄平面C1BD,∴AB1∥平面C1BD.
(Ⅱ)∵D为AC的中点,由正三棱柱性质知,BD⊥侧面AC1,CC1⊥平面ABC,故∠C1DC=θ即为二面角C-DB-C1的平面角,
∵CD=
AB=4,CC1=
=6,
在△CDC1中,tanθ=
=
,∴cosθ=
,
故二面角C-DB-C1的余弦值为
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3b7d0a20cf431ad20b5f2bb4836acaf2fdd98c9.jpg)
又D为AC的中点,∴DE是△CAB1的中位线,
∴DE∥AB1,
又DE⊂平面BDC1,AB1⊄平面C1BD,∴AB1∥平面C1BD.
(Ⅱ)∵D为AC的中点,由正三棱柱性质知,BD⊥侧面AC1,CC1⊥平面ABC,故∠C1DC=θ即为二面角C-DB-C1的平面角,
∵CD=
1 |
2 |
BC12−BC2 |
在△CDC1中,tanθ=
CC1 |
CD |
3 |
2 |
2 |
13 |
13 |
故二面角C-DB-C1的余弦值为
2 |
13 |
13 |
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