已知曲线C1的参数方程为x=2t-1y=-4t-2（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=21-cosθ（Ⅰ）求证：曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0；（Ⅱ）设M

Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=2t-1

y=-4t-2

（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=(2)/(1-cosθ)
（Ⅰ）求证：曲线C₂的直角坐标方程为y²-4x-4=0；
（Ⅱ）设M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ρ=(2)/(1-cosθ)，∴ρ-ρcosθ=2，即ρ=ρcosθ+2．
∴ρ²=（x+2）²，即x²+y²=x²+4x+4，
化简得：y²-4x-4=0；
（Ⅱ） ∵

x=2t-1

y=-4t-2

，消去t得：2x+y+4=0．
∴曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．
设M2(r2-1，2r)，M₂到直线2x+y+4=0的距离为d，
则d=(2|r2+r+1|)/(√(5))=(2[(r+(1)/(2))2+(3)/(4)])/(√(5))≥(3)/(2√(5))=(3√(5))/(10)．
∴|M₁M₂|的最小值为(3√(5))/(10)．