在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，BC的中点（1）求证EF∥平面BDD1B1；（2）求异面直线EF与A1C1的夹角．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为C₁D₁，BC的中点

（1）求证EF∥平面BDD₁B₁；
（2）求异面直线EF与A₁C₁的夹角．

Answer 1

（1）证明：取BD中点O，连结OF，D₁O，
∵△BDC中，O、F分别是BD、BC中点，
∴OF=(1)/(2)DC，且OF∥DC，
又∵正方体中DC∥D₁C₁，DC=D₁C₁，E是D₁C₁的中点，
∴OF∥D₁E，且OF=D₁E，
∴OFED₁是平行四边形，
∴EF∥D₁O，
又∵EF⊄平面BDD₁B₁，D₁O⊂平面BDD₁B₁，
∴EF∥平面BDD₁B₁．
（2） 取A₁D₁中点G，连结GE，则GE∥A₁C₁，且GE=(1)/(2)A1C1，
∴A₁C₁与EF夹角为GE与EF的夹角，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁=BC，G、F分别是A₁D₁、BC的中点，
∴GD₁CF为平行四边形，∴GF=D₁C，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则面对角线BD=D₁C=A₁C₁=√(2)a，
∴GE=(√(2))/(2)a，GF=√(2)a，
由（1）知EF=D₁O=√(DD12+((BD)/(2))2)=(√(6))/(2)a，
∴GE²+EF²=GF²，∴∠GEF=90°，
∴异面直线EF与A₁C₁的夹角为90°．