已知A5n=56C7n，且（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn．（1）求n的值；（2）求a1+a2+a3+…+an的值；（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．

Question

已知

A

5n

=56

C

7n

，且（1-2x） ⁿ =a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +…+a _n x ⁿ ．
（1）求n的值；
（2）求a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a _n 的值；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．

Answer 1

（1）∵已知

A

5n

=56

C

7n

，∴n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56• (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6))/(7•6•5•4•3•2•1) ，
即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），∴n=15．
（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x） ¹⁵ =a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +…+a ₁₅ x ¹⁵ ，
令x=1得：a ₀ +a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a ₁₅ =-1，再令x=0得：a ₀ =1，∴a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a ₁₅ =-2．
（3）展开式的通项公式为 T _r+1 =

C

r15

 • (-2x)  r ，故展开式中第r+1项的系数绝对值为 2 ^r •

C

r15

．
由

2 r •

C

r15

≥ 2  r-1

C

r-115

2 r •

C

r15

≥ 2  r+1

•C

r+115

 解得 (29)/(3) ≤r≤ (32)/(3) ，
∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．