分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，连结D1D2．（1）如图1，过点C作直线HG垂直于直线AB于点H，交D1D2于点G．试探究线段GD1与线段GD2的数量关系，并加以证明．

Question

分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，连结D₁D₂．

（1）如图1，过点C作直线HG垂直于直线AB于点H，交D₁D₂于点G．试探究线段GD₁与线段GD₂的数量关系，并加以证明．
（2）如图2，CF为AB边中线，试探究线段CF与线段D₁D₂的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）GD₁=GD₂．
理由：作D₁F⊥GH于F，D₂M⊥GH于M，且HG⊥AB，
∴∠D₁FC=∠CHA=∠CHB=∠D₂MC=90°．
∵四边形ACD₁E₁和四边形BCD₂E₂是正方形，
∴AC=D₁C，BC=D₂C，∠ACD₁=∠BCD₂=90°，
∴∠D₁CF+∠ACH=90°，∠D₂CM+∠HCB=90°．
∵∠HAC+∠HCA=90°，∠HBC+∠HCB=90°
∴∠D₁CF=∠HAC，∠D₂CM=∠HBC．
在△D₁FC和△CHA中，

∠D1FC=∠CHA

∠D1CF=∠HAC

D1C=AC

，
△D₁FC≌△CHA，
∴D₁F=CH．
在△CMD₂和△BHC中，

∠D2MC=∠CHB

∠D2CM=∠HBC

CD2=BC

，
∴△CMD₂≌△BHC，
∴D₂M=CH．
∴D₁F=D₂M．
在△D₁FG和△D₂MG中，

∠D1FC=∠D2MC

∠D1GF=∠D2GM

D1F=D2M

，
∴△D₁FG≌△D₂MG，
∴GD₁=GD₂；
（2）D₁ D₂=2CF．
理由：分别将△ACF与△BCF绕着点C顺时针、逆时针旋转90°，
使AC、BC分别与CD₁、CD₂ 重合，得到△CD₁F₁ 与△CD₂F₂，
∴F₁、C、F₂三点共线，且CF₁=CF₂=CF．
∴F₁F₂=2CF．
∵CF为AB边中线，
∴AF=BF．
∵∠AFC+∠BFC=180°，
∴∠D₁F₁C+∠D₂F₂C=180°．
∴D₁F₁∥D₂F₂．
∵D₁F₁=AF=BF=D₂F₂，
∴D₁F₁ F₂D₂ 是平行四边形．
∴D₁ D₂=F₁F₂=2CF．