如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求证：EF⊥平面EA1C1．

Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，求证：EF⊥平面EA₁C₁．

Answer 1

证明：（1）连接BD₁，在△DD₁B中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴EF为中位线，
∴EF∥D₁B，而D₁B⊂面ABC₁D₁，EF⊄面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半径R=2，
设AA₁=a，则(1)/(2)√(a2+4+4)=2，解得a=2√(2)，
∵AB=2，∴EF²=4，A1E2=6，A1F2=10，
∴EF2+A1E2=A1F2，即EF⊥A₁E，
∵A₁C₁⊥平面₁D₁D，∴A₁C₁⊥EF，
又A₁C₁∩A₁E=A₁，∴EF⊥平面EA₁C₁．