设xoy平面上区域D={（x，y）|x2+y2≤1，y≥x}，D1是D在第一象限的部分，则∬D（xy3+sin2xsiny）dxdy等于（）A.2∬D1sin2xsinydxdyB.2∬D1xy3dxdyC.4∬D1（xy3+sin2xsiny）dxdyD.0

Question

设xoy平面上区域D={（x，y）|x²+y²≤1，y≥x}，D₁是D在第一象限的部分，则

∬

D

（xy³+sin²xsiny）dxdy等于（　　）

A. 2

∬

D1

sin²xsinydxdy

B. 2

∬

D1

xy³dxdy

C. 4

∬

D1

（xy³+sin²xsiny）dxdy

D. 0

Answer 1

由题意，D1={(x，y)|x2+y2≤1，y≥x，x≥0}，
设D2={(x，y)|x2+y2≤1，y≥-x，x≤0}，D3={(x，y)|x2+y2≤1，x≤y≤-x，x≤0}，
则D=D₁+D₂+D₃，且D₁、D₂关于y轴对称，D₃关于x轴对称
∴

∬

D

（xy³+sin²xsiny）dxdy=

∬

D1+D2+D3

xy³dxdy+

∬

D1+D2+D3

sin²xsinydxdy
其中xy³既为关于x的奇函数又为关于y的奇函数
∴

∬

D1+D2+D3

xy³dxdy=0

∬

D1+D2+D3

sin²xsinydxdy=2

∬

D1

sin²xsinydxdy
∴

∬

D

（xy³+sin²xsiny）dxdy=2

∬

D1

sin²xsinydxdy
故选：A