如图，已知ABCD为矩形，D1D⊥平面ABCD，AD=DD1=1，AB=2，点E是AB的中点．（1）图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；（2）求三棱锥C-DED1的体

Question

如图，已知ABCD为矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；
（2）求三棱锥C-DED₁的体积；
（3）求证：平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer 1

（1）该几何体的正视图和侧视图如图示：
（准确反映三视图的图形特征）-------（4分）
（2）∵D₁D⊥平面ABCD
∴VC−DED1＝VD1−DEC＝(1)/(3)•S△DEC•DD1（6分）
而S△DEC＝(1)/(2)S平行四边形ABCD＝(1)/(2)×2×1＝1
∴VC−DED1＝(1)/(3)×1×1＝(1)/(3)---------------（7分）
（3）∵E为AB的中点，
∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，------（10分）
又∵D₁D⊥平面ABCD，EC⊂平面ABCD
∴CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D
∴CE⊥平面D₁ED-----------------（12分）
∵EC⊂平面D₁EC
∴平面DED₁⊥平面D₁EC----------------------------（14分）