已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）A．23B．23C．53D．223

Question

已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A．(2)/(3)
B．(√(2))/(3)
C．(√(5))/(3)
D．(2√(2))/(3)

Answer 1

因为D₁D⊥面ABCD，过D做DH⊥AE与H，连接D₁H，则∠D₁HD即为截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的平面角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在△D₁HD中，D₁D=1，因为△DAH～△ABE，所以DH=(DA)/(AE)×AB＝(1)/(√(1+(1)/(4)))×1＝(2√(5))/(5)
所以D₁H=√(1+(4)/(5))＝(3√(5))/(5)，所以sin∠D₁HD=(D1D)/(D1H)＝(1)/((3√(5))/(5))＝(√(5))/(3)
故选C