如图,三角形ABC为等腰三角形,C为直角顶点,D1,D2,D3.Dn-1是CB边上的n等分点,从C作AD1的垂线,分别交AD1,AD2,AD3.ADn-1AB于P1,P2,P3,.Pn-1,pn点,连接PnDn-1,求证:∠AD1C=∠BDn-1Pn

Question

如图,三角形ABC为等腰三角形,C为直角顶点,D1,D2,D3.Dn-1是CB边上的n等分点,从C作AD1的垂线,
分别交AD1,AD2,AD3.ADn-1AB于P1,P2,P3,.Pn-1,pn点,连接PnDn-1,求证:∠AD1C=∠BDn-1Pn

Answer 1

解题思路：过B作BE垂直CB交CPn延长线于E,容易证明ACD1与CBE全等,从而Dn-1PnB与PnBE全等.从而问题得证.
证明
因为三角形ABC中,AC=BC,AC垂直BC,角CAB=角B=45度
所以△ABC为等腰直角三角形,且角C为直角
又因为是过点C作AD1的垂线,分别交AD1、AD2、…、ADn-1、AB于P1、P2、…、Pn-1、P点
所以∠ACD1=∠CP1D1=90°
∠CAD1=∠D1CP1=∠BCPn
过B作BE垂直CB交CPn延长线于E
则△ACD1≌△CBE （∠CAD1=∠BCPn,∠ACD1=∠CBE=90° ,AC=BC ）
所以∠AD1C=∠BEC
BE=CD1
又因为 D1,D2,...Dn-1是边CB上的n等分点
所以 BDn-1=CD1
所以 BE=CD1=BDn-1
因为△ABC为等腰直角三角形,且角C为直角
所以∠PnBDn-1=45°
∠PnBE=90°-∠PnBDn-1=90°-45°=45°
所以∠PnBDn-1=∠PnBE=45°
又 BE=CD1=BDn-1 （前面已经证明）
BPn=BPn (公共边)
所以 △PnBE≌△PnBDn-1
所以 ∠BDn-1Pn =∠BEPn=∠BEC
又因为 ∠AD1C=∠BEC（前面已经证明）
所以 ∠AD1C=∠BEC=∠BDn-1Pn （等量代换）