两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0（圆心C1，半径r1）与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0（圆心C2，半径r2）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0叫做圆C1与圆C2的根轴．（1

Question

两圆C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0（圆心C₁，半径r₁）与C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0（圆心C₂，半径r₂）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线l：（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0叫做圆C₁与圆C₂的根轴．
（1）求证：当C₁与C₂相交于A，B两点时，AB所在的直线为根轴l；
（2）对根轴上任意的点P，求证：|PC₁|²-r₁²=|PC₂|²-r₂²；
（3）设根轴l与C₁C₂交于点H，|C₁C₂|=d，求证：H分

C1C2

的比λ=(d2+r12-r22)/(d2-r12+r22)．

Answer 1

证明：（1）当C₁与C₂相交于A，B两点时，两圆的方程作差可得
（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0，
∴公共弦AB所在的直线方程为：（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0，即当C₁与C₂相交于A，B两点时，AB所在的直线为根轴l；
（2）根据勾股定理可得：|PC₁|²-r₁²=|PA||PB|，|PC₂|²-r₂²=|PA||PB|，
∴|PC₁|²-r₁²=|PC₂|²-r₂²；
（3）设C₁到根轴l的距离为d₁，C₂到根轴l的距离为d₂，则r₁²-d₁²=r₂²-d₂²，
∴r₁²-r₂²=d₁²-d₂²，
∴(d2+r12-r22)/(d2-r12+r22)=(d2+d(d1-d2))/(d2-d(d1-d2))=(d1)/(d2)=λ．
H分

C1C2

的比λ=(d2+r12-r22)/(d2-r12+r22)．