关于行列式的一个问题若行列式Dn的值为a,若对第2列开始的每一列加上它前面的一列,同时对第1列上原来最后面的1列,则行列式的值变为?答案是[1+(-1）^n]a.

Question

关于行列式的一个问题
若行列式Dn的值为a,若对第2列开始的每一列加上它前面的一列,同时对第1列上原来最后面的1列,则行列式的值变为?
答案是[1+(-1）^n]a.

Answer 1

将新的行列式看作An,首先利用性质:
如果行列式的某一行（列）都是两项之和,则这个行列式等于两个行列式之和.
按照An的第一列将其分开成为两个行列式之和,其中第一个行列式（记为Bn）的第一列就是Dn的第一列,其余各列与An相同；第二个行列式（记为Cn）的第一列就是Dn的最后一列,其余各列与An相同.
对于第一个行列式（记为Bn）,再利用性质：
将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后,加到另一行（列）的对应元素上去,行列式的值不变.
可以知道Bn相当于将Dn从最后一列开始,依次加上前一列的 1 倍,所以Bn的值与Dn的值相同,等于a.
对于第二个行列式（记为Cn）,再利用性质：
互换行列式的两行（列）,其行列式的值变号.
可以知道Cn相当于将Dn的最后一列,经过(n-1)次与前面一列互换,最后换到第一列,每换一次,提出一个（-1）,共提出n-1个（-1）,即(-1)^(n-1)
所以Cn的值等于Dn的值a乘以(-1)^(n-1).
最后两项相加 = [1+(-1)^(n-1)]*a
我认为你写的答案不正确,-1的指数不是 n ,而是 n-1 .
你可以用一个三阶单位行列式试一下.