（1）证明：P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d＝|Ax0+By0+C|A2+B2．（2）已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D为常数，且A，B，C不全为零）表示平面，n＝(A，

Question

（1）证明：P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d＝(|Ax0+By0+C|)/(√(A2+B2))．
（2）已知：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D为常数，且A，B，C不全为零）表示平面，

n

＝(A，B，C)为该平面的一个法向量．请类比点到直线的距离公式，写出空间的点P（x₀，y₀，z₀）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式，并为加以证明．

Answer 1

（1）证法一：设R是直线上任意一点，则R（x，y），直线的方向向量为

m

＝(−B，A)，则可取直线法向量为

PQ

＝(A，B)，

PR

＝(x−x0，y−y0)，（提醒Q不一定在直线上），
∴d＝(|PR•PQ|)/(|PQ|)＝(|A(x−x0)+B(y−y0)|)/(√(A2+B2))=(|Ax0+By0+C|)/(作业帮用户2016-11-29为您推荐：问题解析（1）证法一利用向量的数量积运算，求出PR在直线的单位法向量上的投影的绝对值即可；证法二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出|RS|、|PR|、|PS|由三角形面积公式可知：d•|RS|=|PR|•|PS|即可得出．（2）类比（1）的证明方法和结论，可设R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一点，n＝(A，B，C)为该平面的一个法向量，PR＝(x−x0，y−y0，z−z0)，Ax+By+Cz=-D，再利用公式d＝(|PR•n|)/(|n|)即可得出．名师点评本题考点：类比推理；点到直线的距离公式．考点点评：本题考查了点到直线的距离公式与点到平面的距离公式d＝(|PR•n|)/(|n|)的证明方法、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于难题．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)