如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=43时

Question

如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧

CD

于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．

（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4√(3)时，求

QD

的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

Answer 1

（1）证明：连接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，

OA=OB

OP=OQ

，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB=(QB)/(OB)=(4√(3))/(8)=(√(3))/(2)，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ=(1)/(2)OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧

QD

的长=(210•π•4)/(180)=(14)/(3)π，

（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4<OC<8．