等比数列an前n项的和Sn=2×3ˆn+k,则S4=?

Question

等比数列an前n项的和Sn=2×3ˆn+k,则S4=?

Answer 1

Sn=2×3ˆn+k
S(n-1)=2×3ˆ(n-1)+k
S(n-2)=2×3ˆ(n-2)+k
an=Sn-S(n-1)=2×3ˆn - 2×3ˆ(n-1) = 4×3^(n-1)
a(n-1)=S(n-1) - S(n-2) = 2×3ˆ(n-1) - 2×3ˆ(n-2) =4×3^(n-2)
∴q=an/a(n-1)=3 ,a1=4
∴Sn= 4×(1-3^n)/(1-3) = 2×(3^n - 1)
∴S4=160
或者这样写：
Sn= a1(q^n - 1) / (q-1)
=a1·q^n /(q-1) - a1/(q-1)
=2×3ˆn+k
上式在n∈N+ 中恒成立.
∴a1/(q-1) = 2,k= -a1/(q-1)=-2
∴Sn=2×3ˆn - 2
∴S4=160