嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高Hn＝2.05×102km，远地点离地面高Hf＝5.0930×104km，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）．随

Question

嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高H n＝2.05×102km，远地点离地面高Hf＝5.0930×104km，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）．随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点．后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）．已知卫星质量m=2.350×10³kg，地球半径R=6.278×10³km，地面重力加速度g=9.81m/s²，月球半径r=1.738×10³km．
（1）、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e．
（2）、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变．设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？
（3）、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期．
（4）、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H_m约为200km，周期T_m=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值．

Answer 1

（1）椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）r_n与r_f的算术平均值，即有半长轴
a＝(1)/(2)(rn+rf)＝(1)/(2)[(Hn+R)+(Hf+R)]＝(1)/(2)(Hn+H_f）+R   
代入数据得
a=3.1946×10⁴km 
由几何关系知，椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有
b＝√(rnrf)
代入数据得b=1.942×10⁴km 
椭圆的偏心率
e＝(√(a2−b2))/(a)=(√((3.1946×104×103)2−(1.942×104)2))/(3.1946)=0.7941
（2）当卫星在16小时轨道上运行时，以v_n和v_f分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有：
(1)/(2)m

v

2 n

−G(Mm)/(rn)＝(1)/(2)m

v

2 f

−(GmM)/(rf)       ①
因为卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒有
mv_nr_n=mv_fr_f               ②
又在地球表面有：G(mM)/(R2)＝mg                 ③
由①②③式可得：
vn＝√((rf)/(rf)•(2g)/(rf+rn))R         ④
vf＝(rn)/(rf)vn＝√((rn)/(rf)•(2g)/(rf+rn))R       ⑤
当卫星沿16小时轨道运行时，根据题意给出的数据有：
r_n=R+H_n，r_f=R+H_f
代入式⑤得v_f=1.198km/s     ⑥
在远地点星载发动机点对，对卫星作短时间加速，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点．所以新轨道远地点高度Hf′＝Hf＝5.0930×104km，但新轨道近地点高度H_n′=600km．故由⑤可得
v_f′=1.230km/s       ⑦
卫星动量的增量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为△t有
m（v_f′-v_f）=F△t
代入数据可解得△t=1.5×10²s；
（3）当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星角动量的大小
L=rmvsinθ=2mσ
其中σ=(1)/(2)rvsinθ是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度．由于角动量守恒，故σ是恒量．利用远地点处的角动量，得：
σ=(1)/(2)rfvf
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积
S=πab
所以卫星沿轨道运动的周期T＝(S)/(σ)
由以上分析得，卫星在16小时轨道上实际运行周期
T=(2πab)/(rfvf)
代入数据可得T=5.67×10⁴s；
（4）在绕月球圆形轨道上根据万有引力提供圆周运动向心力有：
G(M月m)/(r2月)＝mr月((2π)/(T月))2
可得月球质量M月＝(4π2r3月)/(GT2月)
对于地球有M地＝(gR2)/(G)
结合题中给出的数据可以解得：(M月)/(M地)＝0.0124；
答：（1）16小时轨道的半长轴a=3.1946×10⁴km和半短轴b=1.942×10⁴km的长度，以及椭圆偏心率e=0.7941；
（2）在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变．设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续△t=1.5×10²s；
（3）卫星在16小时轨道的实际运行周期T=5.67×10⁴s．
（4）、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H_m约为200km，周期T_m=127分钟，月球质量与地球质量之比值为(M月)/(M地)＝0.0124．